Co trzeba wiedzieć na egzamin z Analizy II

  1. Przestrzenie z normą, przestrzenie Banacha - definicja, przykłady
  2. Ciągłość operacji algebraicznych w przestrzeni z normą
  3. Charakteryzacja przestrzeni Banacha przez szeregi o sumowalnych normach
  4. Operatory liniowe ograniczone, norma operatora i jej własności
  5. Przestrzeń Banacha operatorów o wartościach w przestrzeni Banacha
  6. Wybór bazy w skonczenie wymiarowej przestrzeni z normą zadaje homeomorfizm z Kd
  7. Ciągłośc odwzorowań ze skonczenie wymiarowej przestrzeni z normą
  8. Równoważność norm w skończenie wymiarowej przestrzeni z normą
  9. Zbiory domknięte i ograniczone w skończenie wymiarowej przestrzeni z normą
  10. Zupełność skończenie wymiarowej przestrzeni z normą
  11. Różniczkowalność odwzorowania z otwartego podzbioru przestrzeni Banacha w przestrzeń Banacha
  12. Jedynośc operatora ograniczonego z definicji rózniczkowalności odwzorowania, pochodna odwzorowania w punkcie i jako nowe odwzorowanie, odwzorowania klasy C1
  13. Pochodna złożenia odwzorowań różniczkowalnych i pochodna złożenia odwzorowań klasy C1
  14. Pochodna kombinacji liniowej odwzorowań różniczkowalnych, pochodna odwzorowania liniowego ciągłego
  15. Zbiór operatorów odwracalnych na przestrzeni Banacha
  16. Rózniczkowalność i wzór na pochodną odwzorowania X→X-1
  17. Odwzorowania dwuliniowe - ciągłość i norma
  18. Różniczkowalność odwzorowań dwuliniowych ciągłych i reguła Leibnitza
  19. Pochodne kierunkowe, pochodna Gateaux, pochodne cząstkowe
  20. Przypadek skończenie wymiarowy, macierz Jacobiego
  21. Funkcjonały ciągłe na przestrzeni Banacha, norma wektora jako supremum wartości funckjonałów o normie jeden
  22. Twierdzenie o wartości średniej
  23. Różniczkowalność z różniczkowalności cząstkowej
  24. Wersja twierdzenia o wartości średniej dla funkcji słabo różniczkowalnych
  25. Różniczkowalność (i ciągłość pochodnej) dla odwzorowań słabo rózniczkowalnych, których słaba pochodna zależy w sposób ciągły od punktu
  26. Odwzorowania wieloliniowe przestrzeni z normą
  27. Utożsamienie przestrzeni odwzorowan wieloliniowych z przestrzenią operatorów o wartościach w przestrzeni operatorów o wartosciach w...
  28. Wyższe pochodne, odwzorowania klasy Ck
  29. Wzór na F''(x)(h,k) i symetria drugiej pochodnej
  30. Symetria wyższych pochodnych
  31. Wzór Taylora dla odwzorowań pomiędzy przestrzeniami Banacha
  32. Ekstrema funkcji na przestrzeni Banacha, warunek konieczny istnienia ekstremum
  33. Punkty stacjonarne, ekstrema, punkty siodłowe - definicje i przykłady
  34. Odwzorowania wieloliniowe symetryczne - wartości na układach wektorów postaci (v,...,v)
  35. Warunki dostateczne dla istnienia ekstremum
  36. Twierdzenie o funkcji uwikłanej, różniczkowalność funkcji uwikłanej w jednym punkcie
  37. Ciągła różniczkowalność odwzorowania z twierdzenia o funkcji uwikłanej
  38. Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym
  39. Dyfeomorfizmy, lokalne układy współrzędnych - przykłady
  40. Płaty powierzchni i powierzchnie
  41. Zadawanie powierzchni jako zera odwzorowani o pochodnej maksymalnego rzędu
  42. Opis powierzchni w terminach lokalnych układów współrzędnych
  43. Twierdzenie o stałym rzędzie
  44. Zadawanie powierzchni przez parametryzację - ograniczenia tej metody
  45. Kiełki funkcji gładkuch w punkcie p∈Rn i wektory styczne do Rn w p
  46. Wektory styczne do krzywych
  47. Standardowa baza przesrzeni TpRn
  48. Wyrażenie dowolnego wektora jako klasy równoważności krzywej
  49. Krzywe współrzędnościowe i baza TpRn związana z układem współrzędnych
  50. Wektory styczne do powierzchni, baza przestrzeni styznej do powierzchni w terminach odpowiedniego lokalnego układu współrzędnych
  51. Wektory styczne do powierzchni jako klasy krzywych zawartych w tej powierzchni
  52. Odwozorwanie styczne - definicja i jego dwie interpretecje
  53. Ekstrema związane - metoda Lagrange'a
  54. Charakteryzacja zwartości dla podzbiorów przestrzeni metrycznej zupełnej w terminach całkowitej ograniczoności
  55. Zwartość domkniętej powłoki wypukłej zwartego podzbioru przestrzeni Banacha
  56. Zwartość powłoki wypukłej zwartego podzbioru przestrzeni Rn
  57. Definicja słabej całki z funkcji o wartościach wektorowych, jedyność
  58. Istnienie słabej całki z funkcji o wartościach wektorowych
  59. Liniowość i addytywnośc względem przedziału całkowania całki
  60. Oszacowanie normy całki przez całkę z normy
  61. Ciągłość i różniczkowalność całki, całka z pochodnej
  62. Wartość operatora ograniczonego na całce wektorowej
  63. Równania różniczkowe - podstawowe definicje, równania o rozdzielonych zmiennych
  64. Równania autonomiczne, sprowadzanie równań do takiej postaci
  65. Równania wyższych rzędów i obniżanie rzędu
  66. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla równań z funkcją spełniającą warunek Lipschitza
  67. Istnienie globalnych rozwiązań dla równań liniowych o ciągłych i ograniczonych współczynnikach
  68. Istnienie globalnych rozwiązań dla równań liniowych o ciągłych współczynnikach
  69. Pojęcie rezolwenty równania liniowego jednorodnego i jej własności wynikające z jednoznaczności rozwiązań
  70. Równanie różniczkowe spełniane przez rezolwentę
  71. Wzor na rezolwentę - metoda kolejnych przybliżeń
  72. Operator uporządkowania chronologicznego i wzór na rezolwentę
  73. Szczególne przypadki równania liniowego: przemienne operatory A(t), stałe współczynniki
  74. Uzmiennianie stałej
  75. Obliczanie funkcji wykładniczej od macierzy
  76. Notacja o małe i oszacowania wyznacznika funkcji o wartościach macierzowych
  77. Wzór Liouville'a
  78. Przedłużanie rozwiązań - jednoznaczność
  79. Przykład rozwiązania, którego nie da się przedłużyć
  80. Przedłużanie funkcji jednostajnie ciągłych o wartościach w zupełnej przestrzeni metrycznej
  81. Twierdzenie o przedłużaniu trajektorii pozostających w zbiorze zwartym
  82. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań dla równań z prawą stroną klasy Ck - różniczkowalna zleżność od warunków początkowych i parametrów równania.
  83. Algebry i σ-algebry zbiorów, podstawowe własności
  84. Funkcje addytywne i przeliczalnie addytywne - podstawowe własności
  85. Przedziały w Rd i zbiory elementarne
  86. Regularne funckje addytywne na zbiorach elementarnych, miara zewnętrzna
  87. Wartości miary zewnętrznej na zbiorach elementarnych
  88. Przeliczalna subaddytywność miary zewnętrznej
  89. "Metryka" na podzbiorach Rd wyznaczona przez miarę zewnętrzną i jej własnośći
  90. Zbiory skończenie μ-mierzalne i μ-mierzalne
  91. Algebra zbiorów skończenie μ-mierzalnych
  92. Addytywność miary zewnętrznej na zbiorach skończenie μ-mierzalnych
  93. σ-algebra zbiorów μ-mierzalnych i przeliczalna addytywność miary zewnętrznej
  94. Przestrzenie: z miarą przykłady
  95. Mierzalność zbiorów otwartych/domkniętych, abiory borelowskie
  96. Regularność miar skonstruowanych z regularnych funckji addytywnych na zbiorach elementarnych
  97. Zbiory typu Fσ i Gδ i ich związek ze zbioroami mierzalnymi
  98. Mierzalnośc wszystkich zbiorów miary (zewnętrznej) zero
  99. Funkcje mierzalne - definicja i podstawowe własności
  100. Granice punktowe, sup, inf itp. funkcji mierzalnych; moduł, część dodatnia i ujemna funkcji mierzalnej
  101. Składanie funkcji mierzalnych z funkcjami ciągłymi, sumy i iloczyny funkji mierzalnych
  102. Funkcje proste, przybliżanie funkcji mierzalnej funkcjami prostymi
  103. Definicja całki (Lebesgue'a) i jej podstawowe własności
  104. Miary z gęstością - przeliczalna addytywność
  105. Równość "prawie wszędzie"
  106. Oszacowanie modułu całki przez całkę z modułu
  107. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej
  108. Addytywność całki
  109. Lemat Fatou
  110. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej
  111. Całka Riemanna i całka Lebesgue'a na przedziale
  112. Iloczyny kartezjańskie przestrzeni z miarą, σ-ciało produktowe, mierzalność "przekrojów" zbiorów
  113. Mierzalność obcięć do jednej zmiennej mierzalnych funkcji dwóch zmiennych
  114. Charakteryzacja σ-ciała produktowego jako najmniejszej rodziny zawierającej skończone sumy rozłączne "prostokątów" i zamkniętej na przeliczalne operacje monotoniczne
  115. Miara na iloczynie kartezjańskim przestrzeni z miarami σ-skończonymi
  116. Twierdzenie Fubiniego
  117. Uzupełnianie miary, iloczyn tensorowy miar Lebesgue'a
  118. Mierzlność obrazu zbioru mierzalnego w Rn przy odwzorowaniu klasy C1
  119. Miara powierzchni gładkich i inn konsekwencje twierdzenia o mierzalności obrazów
  120. Miara obrazu zbioru mierzalnego w Rn przy odwzorowaniu liniowym
  121. Nierówność pomiędzy miarą Lebesgue'a obrazu zbioru mierzalnego a całką po tym zbiorze z jakobianu transformacji
  122. Twierdzenie Lebesgue'a o zamianie zmiennych
  123. Funkcje absolutnie ciągłe, związek z funkcjami lipschitzowskimi
  124. Absolutna ciągłość całki nieoznaczonej
  125. Liczby pochodne Diniego, pochodne prawe i lewe, różniczkowalność
  126. Przeliczalność zbioru, na którym istnieją prawa i lewa pochodna i są różne
  127. Pokrycia Vitali'ego i twierdzenie Vitali'ego
  128. Dla chętnych: dowód twierdzenia Vitali'ego
  129. Funkcje monotoniczne - mierzalność, całkowalność, ciągłość poza zbiorem przeliczalnym
  130. Twierdzenie Lebesgue'a o różniczkowalności funkcji monotonicznych
  131. Funkcje o wahaniu skończonym - podstawowe własności
  132. Twierdzenie Jordana o rozkładzie funkcji o wahaniu skończonym na różnicę dwóch funkcji niemalejących
  133. Twierdzenie Fubiniego o różniczkowaniu
  134. Skończone wahanie funkcji absolutnie ciągłych, absolutna ciągłość elementów rozkładu na funkcje niemalejące
  135. Wartość granicy 1/h⋅λ(A∩]x,x+h[)
  136. Pochodna całki nieoznaczonej z funcji całkowalnej
  137. Całkowalność pochodnej funckji niemalejącej i funcji o wahaniu skończonym
  138. Funkcje absolutnie ciągłe, których pochodne są prawie wszędzie równe zero
  139. Zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego - dwa sformułowania
  140. Iloczyn funkcji absolutnie ciągłych, pochodna iloczynu, całkowanie przez części
  141. Przestrzenie Lp - definicja i nierówność Minkowskiego
  142. Zupełność przestrzeni Lp
  143. Nierówność Höldera
  144. Przypadek p=2, iloczyn skalarny, nierównośc Schwarza, przestrzenie Hilberta
  145. Układy ortonormalne i układy ortonormalne zupełne
  146. Współczynniki Fouriera i rozwinięcie wektora w szereg Fouriera
  147. Układ trygonometryczny w L2([-π,π])
  148. Istotne supremum i przestrzeń L∞, zupełność
  149. Twierdzenie Hahna-Banacha - przypadek rzeczywisty
  150. Twierdzenie Hahna-Banacha - przypadek zespolony
  151. Zadanie Steinhausa i jego rozwiązanie metodami przestrzeni Hilberta lub innymi
P.M.S.